FILOSOFI MATEMATIKA MODEL
FILOSOFI
MATEMATIKA MODEL
A. Intensif
Menurut kamus Oxford dalam
Umayah (2014), filsafat adalah kumpulan sistem dan keyakinan yang mengkaji
sifat dasat dari alam semesta dan kehidupan manusia. Kata
filsafat berasal dari kata ‘philosophia’
(bahasa Yunani), diartikan dengan ‘mencintai
kebijaksanaan’. Sedangkan dalam bahassa Inggris kata filsafat disebut
dengan istilah ‘philosophy’, dan
dalam bahasa Arab disebut dengan istilah ‘falsafah’,
yang biasa diterjemahkan dengan ‘cinta
kearifan’. Sumber dari filsafat adalah manusia, dalam hal ini akal dan
kalbu manusia yang sehat yang berusaha keras dengan sungguh-sungguh untuk
mencari kebenaran dan akhirnya memperoleh kebenaran.
Filsafat merupakan gambaran menyeluruh atau
sinopsis tentang realitas manusia dan ini berarti mencakup segenap aspek dan
ekspresi manusia, dan lepas dari kontekstualitas ruang dan waktu (universal).
Karena filsafat manusia bersifat sinopsis dan universal, yang mana mencakup
segenap aspek dan dimensi yang terdapat dalam realitas manusia, maka tidak
mungkin bisa mendeskripsikan semuanya itu secara rinci dan detail sehingga
filsafat manusia hanya menggambarkan realitas manusia secara garis besar saja.
Ciri lain dari filsafat manusia menurut
Umayah (2014) adalah penjelasannya yang intensif (mendasar), yang mana filsafat
adalah kegiatan intelektual yang hendak menggali inti, hakikat (esensi), akar,
atau struktur dasar, yang mendasari dan melandasi setiap kenyataan. Intensif
yaitu dalam dan tinggi sesuai dengan kedalaman dan ketinggian dimensi filsafat.
Dapat dikatakan filsafat manusia hendak mencari inti, hakikat, akar, atau
struktur dasar, yang melandasi kenyataan manusia, baik yang tampak pada gejala
sehari-hari (prailmiah), maupun yang terdapat di dalam data-data dan
teori-teori ilmiah. Ciri-ciri filsafat yaitu filsafat sebagai ilmu, filsafat
sebagai cara berfikir dan filsafat sebagai pandangan hidup. Manfaat dari
mempelajari ilmu filsafat ini ada tiga, yaitu filsafat telah mengajarkan kita
untuk lebih mengenal diri secara totalitas, filsafat mengajarkan tentang
hakikat alam semesta, tentang hakikat Tuhan.
B. Ekstensif
a. Filosofis
Umum
Kattsoff (1989: 95) dalam Sumaryanto (2012) menyatakan
bahwa persoalan-persoalan Filsafat di samping mempunyai ciri-ciri, juga dapat
digolongkan menurut jenis-jenisnya. Keluasan ruang lingkup kajian Filsafat
dapat dibagi atau disistematisasi menjadi tiga cabang utama, yaitu metafisika,
epistemologi, dan aksiologi. Metafisika adalah cabang Filsafat yang berusaha
menangkap kenyataan terdalam dari segala sesuatu yang ada; epistemologi adalah
cabang Filsafat yang berusaha menelaah sumber, watak, dan kebenaran pengetahuan
dan aksiologi adalah cabang Filsafat yang berusaha menelaah tentang hakikat
nilai.
Ontologi menurut Komar (tanpa tahun) membahas
secara umum obyek telaahan ilmu, ciri-ciri esensial obyek ilmu, asumsi dasar
ilmu dan konsekuensinya pada penerapan ilmu, khususnya proses konsistensi
ekstensif dan intensif dalam pengembangan ilmu. Ontologi ilmu membahas tentang
apa yang ingin diketahui atau dengan kata lain merupakan pengkajian mengenai
teori tentang ada. Dasar ontology dari ilmu berhubungan dengan materi yang
menjadi obyek penelaahan ilmu, ciri-ciri esensial obyek itu yang berlaku umum.
Ontologi berperan dalam perbincangan mengenai pengembangan ilmu, asumsi dasar
ilmu dan konsekuensinya pada penerapan ilmu. Ontologi merupakan sarana ilmiah
untuk menemukan jalan penanganan masalah secara ilmiah. Dalam hal ini ontology
berperan dalam proses konsistensi ekstensif dan intensif dalam pengembangan
ilmu. (Pramono, 2005: 138) dalam Sumaryanto (2012).
Epistemologi membahas proses usaha memperoleh
ilmu, terutama berkaitan dengan metode keilmuan dan sistematika isi ilmu.
Sistimatisasi isi ilmu mencakup batang tubuh ilmu, peta dasar perkembangannya,
mulai ilmu pokok sampai kecabangnya. Epistemologi ilmu membahas secara mendalam
segenap proses yang terlibat dalam usaha untuk memperoleh pengetahuan. Metode
keilmuan merupakan suatu prosedur yang mencakup berbagai tindakan pikiran, pola
kerja, cara teknis, dan tata langkah untuk memperoleh pengetahuan baru atau
mengembangkan yang telah ada.
Epistemologi juga bisa menentukan cara dan
arah berpikir manusia. Seseorang yang senantiasa condong menjelaskan sesuatu
dengan bertolak dari teori yang bersifat umum menuju detail-detailnya, berarti
dia menggunakan pendekatan deduktif. Sebaliknya, ada yang cenderung bertolak dari
gejala-gejala yang sama, baruk ditarik kesimpulan secara umum, berarti dia
menggunakan pendekatan induktif. Adakalanya seseorang selalu mengarahkan
pemikirannya ke masa depan yang masih jauh, ada yang hanya berpikir berdasarkan
pertimbangan jangka pendek sekarang dan ada pula seseorang yang berpikir dengan
kencenderungan melihat ke belakang, yaitu masa lampau yang telah dilalui.
Pola-pola berpikir ini akan berimplikasi terhadap corak sikap seseorang.
Dalam pemodelan matematik bahwa masalah nyata
yang sering dihadapi dalam kehidupan sehari-hari perlu disusun dalam suatu
model matematik sehingga, mudah dicari solusinya. Proses pembentukan model
matematika melalui tahap abstraksi dan idealisasi. Dalam proses ini diterapkan
prinsip-prinsip matematika yang relevan sehingga menghasilkan sebuah model
matematika yang diharapkan. Beberapa hal penting dan perlu agar model yang
dibuat sesuai dengan konsep masalah antara lain, masalah itu harus dipahami
karakteristiknya dengan baik, disusun formulasi modelnya, model itu divalidasi
secara cermat, solusi model yang diperoleh diinterpretasikan dan kemudian diuji
kebenarannya. Metodologi dasar dalam proses penentuan model matematika atau
sering disebut pemodelan matematika, ada beberapa tahap yaitu:
a)
tahap
masalah,
b)
karakterisasi
masalah,
c)
formulasi
model matematika,
d)
analisis,
e)
validasi,
f)
perubahan
dan
g)
model
yang memadai
Pemodelan matematika merupakan proses dalam
memperoleh pemahaman matematika melalui konteks dunia nyata. Menurut Lovitt
(1991) dalam Senk dan Thompson (2003). pemodelan matematika ditandai oleh dua
ciri utama, yaitu (1) pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata, (2)
pemodelan membentuk suatu siklus. Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu
deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam
bagian-bagian matematika yang disebut dunia matematika (mathematical world). Pemodelan matematika menurut Dym and Ivey (1980)
merupakan representasi dari objek, proses, atau hal lain yang diharapkan dapat
diketahui polanya sehingga dapat dianalisis.
b. Filosofis
Matematika
Menurut Bold, T.
(2004) interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak,
yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan
menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Kenyataan bahwa semua matematika adalah
abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir
matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen
penting selanjutnya adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas
didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan
kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang
merupakan karakter dari kemungkinan.
1. Sejarah
Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus terbagi menjadi
beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah
muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan
volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa
ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (1800 SM) di mana orang Mesir
menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini
lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India,
Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan
mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.
Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk
mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil
takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang
pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan
dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk
menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap
perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din
al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan
kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen
terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di
Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan
terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari
teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya
dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,
namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya
dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini
bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap
sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan.
Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan
hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan
tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja
mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang
pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya
dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton
kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan
bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral
dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan
penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan
nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak
matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut
dari kalkulus.
Dorman dan Maanen (2008) dalam Sopiany &
Rikayanti (2018) mengatakan kalkulus adalah salah satu topik dalam matematika
dimana manipulasi algoritma dengan symbol lebih mudah dalam memahami konsep
dasar. Pada kalkulus diferensial banyak melibatkan masalah terkait dengan laju
perubahan dan gerak objek. Dengan prasyarat konsep fungsi dan limit serta
sistem bilangan real. Beberapa konsep awal yang diterapkan sebagai pengantar
menuju kalkulus diferensial adalah seputar limit fungsi, yang merupakan cikal
bakal dari konsep ini. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang
sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak
dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih
dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan
kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan
Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Aplikasi
kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan
suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi
perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan.
Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan
pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama
berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang
meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga.
Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks
Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret
takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan
untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz,
menggunakan simbol
dan
untuk melambangkan pertambahan "kecil
takhingga" (atau infinitesimal) dari
dan
,
sebagaimana
dan
melambangkan pertambahan hingga dari
dan
. Untuk y
sebagai fungsi dari x
turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang
sebagai
adalah, menurut
Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan
kecil takhingga x, atau
2. Matematika
Formal
Martin dan Harel (1989), Moore (1994), dan Epp (2003) dalam
Santosa (2013) melakukan penelitian terhadap mahasiswa matematika yang
mengalami kesulitan dalam mengkonstruksi, memahami, dan melakukan validasi
pembuktian. Martin dan Harel (1989) menemukan bahwa sebanyak 52% mahasiswa
matematika dalam pembelajaran menerima sebuah argumen yang keliru sebagai
sebuah bukti dari pernyataan yang tidak familiar.
Dalam membangun sistem logika formal, Aristotle, dalam
bukunya On Interpretation (Aristote dalam Guerrier, 2008), mengekstrak
pernyataan formal dari bahasa yang umum, lalu memberikan suatu bentuk standar
dalam mengkuantifikasi pernyataan dan memperjelas perbedaan antara kontradiksi
(dimana dua nilai kebenaran yang berbeda dihadapkan,misal setiap A adalah B
atau beberapa A tidak B) dan contrariety (oposisi yang lebih radikal yang
memberikan kemungkinan kedua pernyataan bernilai salah, misal setiap A adalah B
atau tidak ada A yang B).
Formal secara epistemologis dalam menjustifikasi sebuah
pernyataan, memiliki sifat konsisten, analitis, koheren, ideal dan apriori.
Dengan sifat-sifat tersebut, setiap pernyataan menjadi logis dan konsisten.
Metodenya meliputi deduksi yang mengarah kepada generalisasi, semantik dan
sintaks yang bersifat rigor atau akurat. Melalui tiga metode tersebut, manusia
dapat memanipulasi ruang dan waktu. Ruang dimanipulasi dengan menetapkan atom
dan parameter dalam membangun kebenaran. sedangkan waktu dimanipulasi dengan
sintaks. Dalam konteks Matematika, Hilbert berusaha untuk menciptakan
matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. David
Hilbert (1642-1943) (Marsigit, 2012) berpendapat bahwa matematika adalah tidak
lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika.
Peterson, I., (1998) menjelaskan bahwa pada awal abad
ke-20, David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk
merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua
matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah
menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka
tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan
harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah
pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga menginginkan skema
yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang diberikan
bisa benar atau salah.
Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas
untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma,
dengan itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan
inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis,
untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan
terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu
prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan semua teorema mungkin
dalam matematika.
Kleiner (1991) dalam Santosa (2013) menyatakan bahwa
gagasan pembuktian itu bukanlah hal yang absolut. Matematikawan memandang bahwa
apa yang mendasari keterterimaan bukti semakin meningkat. Masih menurut Kleiner (1991) matematika rigor
mirip seperti memakai pakaian, gayanya hendaknya disesuaikan dengan kesempatan
tertentu, hal ini akan mengurangi kenyamanan dan menghalangi kebebasan bergerak
jika terlalu longgar atau terlalu ketat. Dari dua pernyataan Kleiner tersebut
bisa kita katakan bahwa standar dari kerigoran dari bukti matematika dapat
berubah-ubah dan tidak harus dari yang kurang rigor menuju ke yang lebih rigor.
Matematika formal didasarkan pada logika formal;
mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek
primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang
berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah
diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan
hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi
tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak terhingga
merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka himpunan
terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk mendefinisikan
struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya
memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan
menjadi landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa
matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam
semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk
sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka.
3. Teorema
Godel dan Bilangan Godel
Teorema ketaklengkapan
Gödel (Gödel's incompleteness theorems)
adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan inheren dari semua
kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan
aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931,
penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Teorema
ketaklengkapan pertama: Jika suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal
dari aritmatika dan S konsisten maka terdapat kalimat aritmatika A yang
bernilai benar tapi tidak dapat dibuktikan di S. Teorema ketaklengkapan kedua: Jika
suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan S konsisten
maka kekonsistenan S tidak terbukti di S. Teorema ketaklengkapan kedua
menguatkan teorema ketidaklengkapan pertama, karena pernyataan yang
dikonstruksi dalam teorema ketidaklengkapan pertama tidak secara langsung
menyatakan konsitensi teori itu. Bukti dari teorema ketidaklengkapan kedua
diperoleh dengan memformalisasi bukti dari teorema ketidaklengkapan pertama
dari dalam teori itu sendiri.
Penomoran Gödel
adalah fungsi yang memberikan setiap simbol dan formula yang terbentuk dengan
baik dari beberapa bahasa formal sebagai bilangan alami yang unik, yang disebut
bilangan Gödel. Konsep ini digunakan oleh Kurt Gödel untuk membuktikan teorema
ketidaklengkapannya.
Gödel menunjukkan
bahwa S dapat membuktikan P (n) hanya dalam kasus n adalah bilangan Gödel yang
Teorema dari S; maka di sana ada k, sehingga k adalah Gödel-jumlah rumus P (k)
= G dan pernyataan ini kata dari dirinya sendiri, tidak dapat dibuktikan. Menurut
Gödel, bahkan jika kita mendefinisikan sebuah sistem formal baru S = S + G,
kita dapat menemukan G yang tidak dapat dibuktikan di S, dengan demikian, S
dapat membuktikan bahwa jika S adalah konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan.
Gödel menjelaskan bahwa jika S dapat membuktikan cst (S), maka S dapat
membuktikan G, tetapi jika S adalah konsisten, tidak dapat membuktikan G,
sehingga tidak dapat membuktikan konsistensi. Dengan demikian, Program Hilbert
tidak bekerja, satu tidak dapat membuktikan konsistensi teori matematika.
Namun, Folkerts menunjukkan bahwa Gentzen melihat Teorema ketidaklengkapan
Gödel dan bertanya-tanya mengapa sistem formal untuk aritmatika sangat lemah
bahwa itu tidak dapat membuktikan konsistensi sendiri. Wittgenstein dengan
brilian mengatasi ketegangan antara formalisme dan deskripsi dunia. Tetapi
ketika menghadapi logika kuantor, pertanyaan ini jarang dieksplor Beberapa
tahun kemudian, Tarski, berhasil menyelesaikan logika kuantor dan meraih apa
yang Wittgenstein peroleh pada proposisi logis
4. Tarski
Tarski (dalam
Guerrier, 2008) dalam tulisannya yang berjudul “The concept of truth in
languages of deductive sciences” menunjukkan bahwa tujuannya adalah menyusun
definisi dari proposisi kebenaran yang memadai secara materi dan tepat secara
formal. Proyek Tarski adalah menjembatani secara nyata antara sistem formal dan
realita. Pada tahun 1944 dia mengemukakan kembali konsep kebenaran klasik milik
Aristoteles dalam bahasa yang modern melalui definisi berikut: “‘the truth of a
proposition lies in its agreement (or correspondence) with reality; or a
proposition is true if it designates an existent state of things.’’ Kebenaran
proposisi terletak pada kesepakatan (atau korespondensi) dengan realita, atau
suatu proposisi bernilai benar jika ia membentuk status keberadaan sesuatu.
Model pendekatan
teoritik dikembangkan oleh Tarski dalam bukunya Introduction to logic and to the methodology of the deductive sciences.
Diketahui suatu teori deduktif yang memungkinkan memahami suatu sistem
aksiomatik sebagai bahasa formal dan mengintepretasikan kembali sistem dengan
interpretasi yang lain. Interpretasi dimana suatu aksioma bernilai benar
disebut dengan model sistem aksiomatik. Pendekatan ini (Beth, 1962) menjadikan
tak berhingga banyaknya formula sebagai aksioma, yang diperoleh dari beberapa
aksioma tertentu yang digunakan berulang-ulang pada aturan inferensial.
Aksioma-aksioma tersebut dinamakan tesis. Beberapa karakter tesis yang mendasar
antara lain,
1.
U→(V→U),
2.
[U→(V→W)]→[(U→V)→(U→W)],
3.
[(U→W)→U]→U
Dari tesis-tesis
tersebut dikembangkan menggunakan skema inferensial dan modus Ponens sehingga
diperoleh berbagai teorema. Misalnya akan dibuktikan bahwa (V→W)→[(U→V)→(U→W)]
juga merupakan tesis. Dari karakter aksioma I maka dapat disusun implikasi
berupa (1) (V→W)→[(U→(V→W)]. Sedangkan
dari karakter aksioma II dapat disusun implikasi (2) [U→(V→W)]→[(U→V)→(U→W)].
Dari (1) dan (2) dengan skema (iij) maka diperoleh (V→W)→[(U→V)→(U→W)]. Hal
tersebut memberikan beberapa hasil yang penting:
“Semua teorema dibuktikan dari suatu sistem
aksiomatik yang valid untuk setiap interpretasi sistem”
Teorema tersebut
menunjukkan hubungan antara semantik dan sintak sekaligus mengarahkan kita
kepada metode yang penting dalam pembuktian bahwa suatu pernyataaan bukan
merupakan konsekuensi logis dari teori aksioma. Dengan begitu, Tarski telah
memberikan perbedaan yang jelas antara kebenaran dalam suatu interpretasi dan
kebenaran sebagai konsekuensi logis dari suatu sistem aksiomatik.
5. Alan
Turing
Folkerts (2004) menemukan
bahwa Alan Turing mendefinisikan fungsi sebagai program untuk untuk menghitung
dengan mesin sederhana di mana fungsi ini sama dengan apa yang Gödel pikirkan.
Menurut Alan Turing, semua definisi dari fungsi yang berbeda dapat dihitung
dengancara membuat himpunan yang sama dengan fungsi yang ada. Fungsi dapat
dihitung karena yang paling banyak cara untuk program mesin Turing dan jumlah
fungsi yang mungkin dapat ditetapkan, sehingga fungsi dapat ditentukan secara
teoritis sebagai sebuah pengecualian. Alan Turing menunjukkan bahwa fungsi
adalah relasi yang tak terhitung yang menghasilkan output yang tergantung pada
variabel acak.
Sejak awal perkembangan kalkulus, angka telah menjadi obyek minat dan kontroversi di sejarah matematika. Hasil
fundamental dalam kalkulus diferensial dan integral pertama kali diperoleh
dengan alasan informal dengan jumlah yang sangat kecil, mudah terlihat pada penggunaan
yang tanpa batasan sehingga menimbulkan kontradiksi. Perlakuan yang benar dari
infinitesimals harus menunggu perkembangan bidang baru matematika, yaitu logika
matematika dan teori model. Fakta dasar dalam teori model adalah setiap tak
terbatas struktur matematika memiliki model yang tidak standar yaitu struktur
non-isomorfik. Maksudnya adalah ada yang berbeda tapi strukturnya setara, mereka
tidak dapat dibedakan dengan sifat dasar karena "kata-kata tidak cukup
untuk menggambarkan realitas".
6. Matematika Non Standar
Keberadaan model tidak standar pertama kali
ditunjukkan oleh Thoralf Skolem di akhir dua puluhan, minat yang kuat di
properti mereka hanya muncul di lima puluhan, ketika studi intensif model
aritmatika tidak standar dimulai (Nasso, tanpa tahun). "Penemuan"
analisis tidak standar dapat dilakukan pada tahun 1960, ketika Abraham Robinson
memiliki gagasan untuk menerapkan analisis model-teori mesin. Menurut beberapa
penulis, prestasi Robinson mungkin menjadi salah satu matematika utama kemajuan
abad ini. Adanya ekstensi tidak standar ∗ R dari sistem bilangan real, disebut angka hiperreal yang bertentangan
dengan teorema karakterisasi terkenal untuk R. Prinsip transfer Leibnitz dapat diberikan formulasi sebagai
berikut.
Setiap properti dapat dituliskan sebagai formula
urutan pertama
bilangan real R jika dan hanya jika itu benar dari
bilangan real apa pun
sistem ∗ R.
Penggunaan metode yang tidak standar agak berbeda
sifatnya karena membutuhkan pengertian dari logika matematika untuk menguji
kebenarannya. Metode tidak standar tidak menimbulkan matematika tidak
standar dikontraskan dengan matematika standar.
a) Pendekatan Superstruktur.
Presentasi Abraham
Robinson dikembangkan dalam tipe-teoretis versi logika tingkat tinggi.
Sebagaimana formalisme logis dibutuhkan tampaknya rumit bagi kebanyakan ahli
matematika, pendekatan lain menjadi lebih populer dalam prakteknya, yaitu yang
lebih "konkret" yang didasarkan pada konstruksi kekuatan ultra R.
Penggunaan ultrapower dalam analisis tidak standar dipopulerkan oleh Wilhelmus
Luxemburg. Pendekatan Superstruktur merupakan pembahasan yang paling popular di
analisis tidak standar. Sistem bilangan real perlu memperhatikan interval,
fungsi, ruang fungsi, norma, topologi, dan sebagainya. Ruang F dari fungsi real
diidentifikasi dengan subset dari himpunan bilangan real, dan topologi pada F
(subset dari himpunan bagian F). Robinson dan Zakon memiliki gagasan untuk
mengambil superstruktur sebagai semesta untuk praktik matematika.
b) Keterbatasan Dasar Pendekatan
Superstruktur.
Pendekatan
superstruktur sepenuhnya dikembangkan dalam teori himpunan, sehingga tidak
menghadirkan masalah mendasar. Namun, itu mengungkapkan batasan serius jika diusulkan
sebagai kerangka kerja untuk penggunaan metode tidak standar dalam matematika
secara umum. Berikut adalah daftar tentatif dari batasan tersebut.
a. Model superstruktur hanya merupakan bagian dari ZFC.
Karena superstruktur hanya terdiri dari set peringkat terbatas dalam
kumulatif hierarki, mereka tidak
memenuhi aksioma Infinity.
b. Super struktur yang berbeda diperlukan untuk masalah yang berbeda.
Misalkan kita ingin mempelajari struktur matematika M dengan menggunakan
metode tidak standar. Pertama, kita harus mengambil hak suprastruktur V ( X )
untuk tujuan itu. Jelas bahwa embeddings tidak standar yang berbeda harus
dipilih untuk menghadapi masalah yang berbeda.
c. Metode tidak standar tidak berkaitan dengan superstruktur.
Perumusan dan penggunaan metode tidak standar tidak memiliki koneksi
dengan gagasan set-teoretis teknis hirarki set kumulatif.
d. Secara estetika terdapat keinginan untuk menggunakan semua teknik yang
tidak standar di dalam sistem aksiomatik terpadu.
Tujuan memberikan kerangka dasar umum di mana hampir semua matematika
termasuk argumen tidak standar dapat tertanam, mengarah ke formulasi berbagai
teori himpunan tidak standar.
c) Mencari Teori Himpunan Tidak Standar
Kreisel tahun 1969
mengusulkan sistem formal NS untuk analisis tidak standar, di mana aksioma
dirumuskan memanfaatkan dari * simbol notasi pendekatan suprastruktur. Berdasarkan
berbagai sistem aksiomatik, kondisi ideal teori himpunan tidak standar T harus
memenuhi karakteristik sebagai berikut:
a. T adalah perpanjangan dari
"standar" matematika seperti yang diformalkan oleh klasik
Zermelo-Fraenkel menetapkan teori ZFC.
b. Postulat T menggunakan prinsip transfer
antara standar dan internal semesta untuk bahasa matematika biasa.
c. T mencakup prinsip saturasi yang kuat,
kadang-kadang disebut idealisasi .
d. T memungkinkan standarisasi. Artinya,
untuk himpunan yang diberikan, seseorang dapat mengambil himpunan dari semua
elemen standarnya, dan hasilnya adalah himpunan standar juga.
e. T konservatif dibanding ZFC. Yaitu,
fakta standar dibuktikan oleh T jika dan hanya jika itu dibuktikan oleh ZFC.
Dengan demikian
setiap teori himpunan tidak standar yang diusulkan harus melemahkan sebagian aksioma
ZFC di semesta eksternal, atau mengasumsikan beberapa prinsip analisis tidak
standar dalam bentuk yang lemah.
d) Teori Himpunan Internal Nelson
Internal Teori IST disampaikan oleh Edward Nelson pada tahun 1977. Teori
himpunan Internal adalah sebuah teori yang diformulasikan sebagai hasil dari
posisi filosofis. Teori himpunan biasa, predikat tambahan st, yang disebut
"standar", adalah bagian dari bahasa formal. Sehingga pengertian dari
himpunan standar adalah dari sifat yang sama dengan hubungan keanggotaan, yaitu
konsep dasar tidak boleh didefinisikan.
e) Teori Himpunan Tidak Standar Hrba˘cek
Karel Hrbá˘cek mengembangkan teori himpunan yang tidak standar NS1, NS2
dan NS3. Sistem yang secara eksplisit dianggap sebagai perangkat eksternal di
alam semesta, kemudian ditambahkan dua simbol ke bahasa biasa teori himpunan,
yaitu predikat st ( x ) untuk " x adalah standar" dan predikat int (
x ) untuk " x adalah internal".
Tiga teori Hrbá˘cek
adalah sistem yang diberikan oleh tujuh kelompok aksioma berikut.
a.
ZFC untuk semesta standar.
Untuk setiap φ
aksioma ZFC, perelatifan standar φst diasumsikan
b.
Sebuah fragmen ZFC untuk semesta
eksternal.
Aksioma ekstensionalitas, himpunan kosonh, pairing, union, infinity, dan
pemisahan diasumsikan untuk kelas universal
c.
Semua set standar adalah internal.
d.
Semesta dari himpunan internal adalah
transitif.
e.
Prinsip transfer
Untuk setiap ∈ -formula ϕ yang variabel bebasnya x1 , ..., xn
f.
Prinsip standarisasi
g.
Prinsip idealisasi
f)
Sistem aksiomatis Kawai NST.
Kontribusi penting untuk dasar
metode yang tidak standar diberikan oleh Toru Kawai dengan menyajikan sistem
aksiomatik di mana semua aksioma ZFC diasumsikan untuk semesta eksternal. Hasil
inkonsistensi Hrbá˘cek dihindari dengan melemahkan standardisasi dan
mempertimbangkan standar semesta dan internal semesta sebagai himpunan yang
benar. Berikut ini adalah aksioma dari Teori Set Nonstandar Kawai NST:
a. ZFC untuk semesta standar.
Untuk setiap aksioma ϕ ZFC, diasumsikan relativiasi standar ϕ
b. ZFC - untuk semesta eksternal + Keteraturan Lemah.
Semua aksioma ZFC diasumsikan untuk kelas universal dengan pengecualian
keteraturan, yang hanya diasumsikan dalam bentuk lemah berikut.
c. Semua himpunan standar adalah internal.
d. i adalah transitif
e. Prinsip pengalihan
∀
S x 1 ··· ∀
S x n ( ϕ S ( x 1 , ..., x n ) ↔
ϕ I ( x 1 , ..., x n ))
f.
Properti standarisasi
g. Prinsip idealisasi
g)
Teori Himpunan Tidakstandar Bertingkat Fletcher (SNST).
Fletcher
mengeksplorasi kemungkinan untuk menghindari paradoks Hrbá˘cek, dengan secara
dinamis mengubah "gambar" semesta. Perumusan Teori Himpunan Nonstandar
Stratified SNST dapat diringkas sebagai berikut: meskipun satu sistem formal diperlukan, tidak harus menggambarkan satu semesta. SNST mendalilkan peningkatan
urutan semesta internal dan eksternal diindeks di atas kardinal, di mana
berbagai tingkat kejenuhan terpenuhi. Idealisasi penuh tidak berlaku, tetapi
jumlah saturasi tertentu disediakan dengan bekerja di tingkat yang sesuai dengan
hierarki.
Aksioma SNST adalah berikut.
a. ZFC untuk semesta standar.
Untuk setiap aksioma ϕ ZFC, diasumsikan relativiasi standar ϕ
b. ZFC - + keteraturan yang lemah untuk semesta eksternal.
c. i α ⊆ E α , i α ⊆ i β dan E α ⊆ E β untuk semua α ≤ β
d. Setiap bagian yang sangat eksternal E α \ i α adalah transitif. Seluruh
internal semesta i = α i α bersifat transitif.
e.
Prinsip transfer
f.
Prinsip standarisasi
g.
Prinsip idealisasi
h)
Teori Himpunan Perluasan Ballard's EST.
Dengan menghadirkan perluasannya Teori himpunan EST dalam kerangka
teori, Ballard mampu menghindarinya masalah notasi bahasa peringkat. Untuk
setiap semesta U dan setiap U - kardinal κ , ada perluasan tak jenuh yang tidak
standar κ U ⊇ U (demikian sebuah U juga merupakan semesta). Dengan demikian,
pembesaran U ⊇ U memiliki sifat seperti sekumpulan semesta pertama dilihat sebagai
terbatas oleh kedua semesta hanya jika dilihat sebagai terbatas oleh keduanya.
Berikut dua aksioma EST.
a. Di sana ada semesta U.
b. Untuk semesta U apa saja dan untuk setiap U- kardinal κ , ada κ -
pembesaran jenuh U ⊇ U.
i)
Teori Himpunan “Hampir-standar” Zermelo-Fraenkel-Boffa ZFBC.
Zermelo-Fraenkel-Boffa mengusulkan Teori Himpunan “Hampir-standar”,
dimana simbol relasi biner tambahan C memberikan keteraturan semesta, dan
keteraturan tersebut diganti oleh prinsip anti-fondasi yang kuat. Aksioma ZFBC
adalah sebagai berikut:
-
Semua aksioma ZFC kecuali keteraturan
diasumsikan.
-
C ( x, y ) adalah suatu hubungan
fungsional yang menghasilkan bijektif C : ON → V antara aturan dan semesta.
-
Aksioma Superuniversality Boffa
j)
Meningkatkan
Pendekatan Internal: Teori BST dan HST.
Dengan
mempertimbangkan modifikasi minor dari IST, yaitu Bounded Set Theory BST,
seseorang dapat mengkodekan set eksternal ke dalamnya alam semesta internal. Dengan
cara ini teori hst tidak standar ( Hrbá˘cek Set Teori ) diperoleh
yang mengatasi kendala utama IST. Kanovei dan Reeken mengusulkan aksioma tidak
standar sistem, yaitu Hrbá˘cek's Set Theory HST , dirumuskan dalam ∈ -st-language.
-
Untuk setiap φ aksioma ZFC,
standar-perelatifan φ st diasumsikan.
-
Aksioma ekstensionalitas, pasangan,
penyatuan, ketidakterbatasan, pemisahan dan respon penempatan diasumsikan untuk
kelas universal
-
Semua himpunan standar adalah internal.
-
Semesta dari himpunan internal bersifat
transitif.
-
Prinsip transfer
-
Properti standarisasi
-
Prinsip kejenuhan
Jika himpunan
internal memiliki ukuran standar dan memiliki persimpangan properti terbatas,
maka memiliki persimpangan tak kosong.
k)
Teori
Himpunan Relatif Péraire.
RST memberikan versi relatif dari
pendekatan internal dengan cara relasi biner dari standar. Tidak hanya
mempertimbangkan himpunan standar dan tidak standar (ideal), di alam semesta
RST adalah seluruh hierarki himpunan yang diatur sesuai dengan urutan linier.
Himpunan yang diberikan lebih standar (atau kurang ideal) daripada yang lain,
sehingga memformalkan gagasan intuitif terkadang digunakan dalam bahasa
matematika informal. Aksioma RST adalah sebagai berikut.
·
Semua aksioma teori himpunan
Zermelo-Fraenkel dengan pilihan diasumsikan.
·
Relasi biner st adalah total pre-order
Untuk rumus apa
pun ϕ , kita akan menulis ∀
[ a ] xϕ berarti ∀x
( x st a → ϕ ) dan ∃
[ a ] xϕ berarti ∃x
( x st a ∧ ϕ
).
·
Prinsip Transfer, untuk setiap ∈ -formula ϕ yang variabel
bebasnya x 1 , ..., x n , y, dan untuk setiap a
·
Idealisasi terbatas
·
Idealisasi tidak terbatas
·
Properti standarisasi
l)
Teori
Kelas Non-standar Gordon-Andreyev NCT
Teori Gödel-Bernays GB adalah cara yang
mirip dengan Teori Himpunan Internal (dalam bentuk terikat BST) meluas ZFC. Aksioma
NCT diberikan formalisasi yang lebih sederhana. Bahkan, transfer, idealisasi
dan standardisasi diformulasikan sebagai aksioma tunggal dan bukan aksioma
schemata. Bahasa NCT diperoleh dengan menambahkan simbol st untuk standar kelas
ke bahasa biasa. Aksioma adalah sebagai berikut.
1.
Semua aksioma teori Gödel-Bernays
diasumsikan, di mana pilihan dipostulasikan untuk himpunan, dan penggantian
mengambil bentuk kumpulan aksioma:
Untuk setiap
aksioma keberadaan kelas, modifikasinya dengan quantifiers over variabel kelas
yang dibatasi oleh predikat st ( ∀
st , ∃
st ) ditambahkan.
2.
Ada kelas
semua set standar. ∃S ∀x (st ( x ) ↔ x ∈ S )
3.
Batas. ∀x ∃ st y x ∈ y
4.
Prinsip
Transfer. ∀ st X ( X
= ∅ → ∃ st x ( x ∈ X ))
5.
Properti
Standardisasi. ∀X ∃ st Y ∀ st y ( y ∈ Y ↔ y ∈ X )
6.
Pemisahan
untuk Kelas Internal. ∀ int X ∀x ∃y ( y = x ∩ X )
7.
Prinsip
Idealisasi.
∀ int X ∀ st o [∀ stfin c ⊆ o ∃x ∀a ∈ c (<x, a> ∈ X) ↔ ∃x ∀ st a ∈ a o ( 〈x, a〉∈ X )]
8.
Properti Kejenuhan. Setiap kelas X p -atur
untuk beberapa set p .
m)
Pendekatan
* ZFC
Empat kelompok aksioma ∗ ZFC adalah sebagai
berikut.
a. di
mana skema pemisahan dan penggantian juga diasumsikan untuk formula yang
mengandung simbol ∗.
b. ∗ adalah pemetaan dengan
domain S
c. Embedding
tidak standar ∗
menjaga semua operasi Gödel.
d. Skema
Kejenuhan. Jika κ kardinal didefinisikan oleh ∈ -formula, maka properti κ -aturasi
memegang. Lebih formal lagi, untuk setiap ∈
-formula ϕ ( x ) memiliki tepat satu variable bebas
n)
Teori
Himpunan Terbatas Reguler Tidak Standar
The
Set Nonite Standard Regular Set Theory NRFST, diperkenalkan oleh S. Baratella dan
R. Ferro, memberikan pendekatan dasar yang berbeda untuk tidak standar
matematika. Aksioma Infinity digantikan oleh negasi dan gagasan baru infinity
diperkenalkan dengan menggunakan metode yang tidak standar. Aksioma NRFST
adalah:
a.
Teori himpunan terbatas untuk semesta
standar.
b.
Semesta dari himpunan internal adalah
transitif.
c.
Prinsip Transfer. Untuk setiap ∈ -formula ϕ yang variabel
bebasnya x 1 , ..., x n
d.
Properti Standardisasi. ∀x∀ st y ∃ st z ( z = x ∩ y )
e.
Prinsip Idealisasi. ∀ st y 1 , ···, ∀ st y n [ ∀ st z ∃ st y ∀x ∈ z ϕ st ( x, y, y 1 ,
..., y n )] → ∃
int y ∀ st xϕ int ( x, y, y 1 ,
..., y n )
f.
Sebuah fragmen ZFC untuk alam semesta
eksternal. Aksioma ekstensionalitas, pasangan, kesatuan, skema pemisahan, dan
aksioma pilihan diasumsikan.
7. Teori Kategori
Teori kategori berhubungan dengan struktur
matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini
kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis.
Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane
pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.
Misalkan kita mempunyai himpunan (yang disebut
dengan object beserta fungsi total di antar himpunan tersebut (morphism), maka
properti kategori adalah sebagai berikut.
1.
Tipe Fungsi. f: A -> B berarti
fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B.
2.
Komposisi. Kita bisa menggabungkan dua
fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan
sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa
himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan gof.
3.
Fungsi Identitas. Untuk setiap himpunan
A, terdapat fungsi identitas id A : A -> A
8.
Transformasi
Model
Transformasi model secara umum dibagi menjadi dua,
yaitu
1. Yang
ada, segala sesuatu yang keberadaannya ada baik yang ada dalam pikiran maupun
yang ada diluar pikiran (dapat diindera).
2. Yang
mungkin ada, segala sesuatu yang keberadaannya belum tentu ada atau tidak akan
pernah ada.
Objek belajar filsafat adalah yang ada dan yang
mungkin ada, dengan kata lain filsafat memiliki objek kajian yang sangat luas.
Dalam filsafat di kenal istilah transformasi dunia dimana kita sebagai manusia
mencoba untuk mempelajari seperti apa itu dunia dalam lingkup kajian filsafat.
Untuk memahami tentang yang ada dan yang mungkin ada, akan dijelaskan beberapa
ilustrasi berikut. Pak Marsigit ingin mengambil sesuatu dari dalam saku celana,
kemudian Bapak menanyakan kepada mahasiswa apa yang akan diambil. Secara tidak
sadar pasti kita akan memikirkan bahwa terdapat suatu barang yang ada didalam
saku. Meskipun setiap mahasiswa dapat membayangkan apa saja yang mungkin, tidak
menutup kemungkinan barang yang dipikirkan berbeda-beda. Proses tersebut
selanjutnya disebut dengan yang mungkin ada didalam pikiran kita. Kemudian Pak
Marsigit mengeluarkan sebuah dompet berwarna coklat. Setelah melihat langsung,
maka dompet coklat tersebut pasti ada dalam pikiran kita.
Ilustrasi berikutnya adalah Beliau meminta lima orang
mahasiswa untuk menutup mata, lima orang menutup telinga, dan lima orang
lainnya boleh melihat dan mendengar. Bapak bermaksud mengambil kembali suatu
barang di saku celana. Selanjutnya Bapak mengeluarkan barang tesebut dan
menanyakan kepada masing-masing kelompok mahasiswa. Ternyata Pak marsigit
mengeluarkan tutup spidol berwarna hitam. Bagi kelompok mahasiswa yang ditutup
matanya, mereka tidak mengetahui bahwa benda yang diambil adalah spidol dan
berwarna hitam, meskipun dapat mendengar. Bagi kelompok mahasiswa yang ditutup
teliganya, mereka dapat mengetahui bahwa tutup spidol yang diambil dari dalam
saku berwarna hitam karena boleh melihat. Sedangkan bagi kelompok mahasiswa
yang dapat melihat dan mendengar sudah pasti mengetahui benda yang diambil.
Jadi dalam kehidupan itu terdiri dari hal-hal yang mungkin ada menjadi sesuatu
yang ada didalam pikiran sesuai dengan ruang dan waktunya.
C.
Hermenitik
Konstruktif
Istilah Hermeneutika
dalam Bahasa Inggris adalah hermeneutics, dalam Bahasa Yunani hermeneuine dan
hermeneia yang berarti menafsirkan dan penafsiran. Ada dua unsur dalam
hermeneutika, yaitu lurus dan melingkar. Lurus berarti kita tidak pernah
mengulang hal yang sama dalam hidup kita karena semuanya menembus ruang dan
waktu. Sedangkan melingkar bermakna berinteraksi. Hermeneutik merupakan
bangunan epistimologi yang muncul bukan sebagai tradisi berfikir mandiri,
melainkan hasil reaksi, dan koreksi dari beberapa pemikiran. Wolff (1991:189)
menyebutkan bahwa pemikiran yang hadir memiliki implikasi pada pemahaman, masuk
dalam pembahasan ontologi penafsiran. Gadamer merupakan salah satu filosof yang
mampu meletakkan pondasi baru dalam persoalan ontologis (Hasanah, 2017). Pokok
penting teori hermeneutik Gadamer mengacu lingkaran hermenutik mengenai
pemahaman. Pemahaman merupakan proses kesadaran menyejarah, lahir karena
keterlibatan dimensi waktu yaitu past,
present, dan future.
Pemodelan matematika menurut
Prayudi dalam Theodore (2016) merupakan bidang matematika yang berusaha untuk
mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia
real dalam pernyataan matematika sehingga diperoleh pemahaman dari problem
dunia real ini menjadi lebih tepat. Sederhananya, model matematika merupakan
usaha untuk menggambarkan suatu fenomena ke dalam bentuk rumus matematis
sehingga mudah untuk dipelajari dan dilakukan perhitungan.
Teori model diawali
dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua
bilangan) dan kemudian mencari dan menganalisis keberadaan operasi-operasi,
relasi-relasi, atau aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau
pada obyek-obyek tersebut. Indenpensi dua hukum matematis yang lebih dikenal
dengan nama axiom of choice, dan contnuum hypothesis dari aksioma-aksioma teori
himpunan (dibuktikan oleh Paul Cohen dan Kurt Godel) adalah dua hasil terkenal
yang diperoleh dari teori model. Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan
negasinya konsisten dengan aksioma-aksioma Zermelo-Fraenkel dalam teori
himpunan dan hasil yang sama juga dipenuhi oleh contnuum hypothesis. Model
matematika yang diperoleh dari suatu masalah matematika yang diberikan,
selanjutnya diselesaikan dengan aturan-aturan yang ada. Penyelesaian yang
diperoleh, perlu diuji untuk mengetahui apakah penyelesaian tersebut valid atau
tidak. Hasil yang valid akan menjawab secara tepat model matematikanya dan
disebut solusi matematika. Jika penyelesaian tidak valid atau tidak memenuhi
model matematika maka solusi masalah belum ditemukan, dan perlu dilakukan
pemecahan ulang atas model matematikanya.
Matematika model
dikelompokkan menjadi beberapa jenis, berdasarkan objeknya, pola matematika,
dan kekontinuan data. Berdasarkan objeknya, terdapat model lingkungan, model keuangan, model penyakit,
model sistem control, dan model logistic. Berdasarkan pola matematika, terdapat
model diferensial, dan model stokastik. Berdasarkan kekontinuan data, terdapat
model deterministic dan model kontinu. Langkah-langkah pemodelan matematika (Skem,
1987) secara singkat adalah berikut:
a) memahami masalah di bidang yang bersangkutan,
b) menyusun model matematika,
c) menyelesaikan model matematika (mencari jawaban
model),
d) menafsirkan jawaban model menjadi jawaban atas
masalah yang nyata.
Memperhatikan pendapat Skemp
dan Blum/Leiss, langkah-langkah pemodelan matematika adalah
a) memahami terhadap masalah yang dihadapi,
b) menyederhanakan masalah atau menyusun struktur,
misalnya dengan membuat table, diagram, atau skema
c) menyusun model matematika melalui proses abstraksi
dan idealisasi,
d) menyelesaikan model matematika dengan melakukan
operasi dan manipulasi untuk memperoleh jawaban model,
e) menafsirkan jawaban model berdasar pada masalah
yang sebenarnya,
f) memvalidasi apakah jawaban menjawab pertanyaan
masalah sebenarnya,
g) menyajikan model yang mungkin berlaku lebih luas
Dalam rangka
memperoleh model yang lebih baik maka perlu dimanfaatkan diagram, data, dan
informasi yang lain. Proses abstraksi adalah adalah pemilihan beberapa sifat
yang sama yang dimiliki oleh setiap anggota dalam suatu himpunan dan pemilihan
sifat yang sama tersebut berdasarkan pada kebutuhan. Abstraksi merupakan proses
menyusun formula dari pengertian atau konsep yang digeneralisir dari
sifat-sifat yang dimiliki bersama dalam suatu himpunan objek dengan mengabaikan
perbedaan yang ada pada objek-objek tersebut (Borowski dan Borwein, 2007) dalam
Suyitno & Asih (2018). Dalam
penyusunan model matematika, di samping abstraksi juga idealisasi, yaitu menganggap
bahwa sesuatu itu sempurna, misalnya menganggap permukaan meja adalah bidang
datar, tepian meja sebagai garis lurus yang sempurna, dsb. Idealisasi adalah
menganggap representasi dari sesuatu sebagai sesuatu yang ideal.
Dalam proses
penyusunan model matematika dari masalah yang sederhana langkah pertama adalah
memahami informasi yang terkandung dalam masalah nyata. Dalam rangka
pemecahanan masalah ada hal-hal yang sudah diketahui dengan jelas dan ada
hal-hal yang diperlukan tetapi belum diketahui. Hal-hal yang belum diketahui
atau hal-hal yang ditanyakan akan menjadi variable dalam penyusunan model,
sedangkan hal-hal yang diketahui dengan pasti akan menjadi konstanta. Langkah
selanjutnya adalah menentukan hubungan antar variable dan konstanta serta
memilih symbol-simbol untuk setiap variable. Selanjutnya menyusun formula
hubungan antar variable dan konstanta. Penulisan model matematika harus
memperhatikan keakuratan simbol serta makna dibalik simbol, sehingga model
matematika tersebut benar-benar merepresentasikan data-data yang ada.
Kadang-kadang dalam suatu masalah, pemecahannya berkaitan dengan waktu. Model
matematika yang terkait dengan waktu dikenal dengan istilah model dinamik,
sedang yang tidak terkait dengan waktu dikenal dengan istilah model static.
Pada masalah-masalah yang complex formulasinya tidak sederhana, proses
penyusunannya mungkin berulang-ulang dan perlu simulasi serta memerlukan
bantuan computer.
DAFTAR PUSTAKA
Beth,
Evert W. 1962. Formal methods.
Dordrecth: D. Reidel Publishing Company
Bold, T. 2004.
Concepts on Mathematical Concepts. http://www.usfca.edu/philosophy/
discourse/8/bold.doc
Dym and
Ivey.1980. Principles of Mathematical Modeling.Academic Press.
Folkerts,
M.. 2004. Mathematics in the 17th and
18th Centuries, Encyclopaedia
Britannica, http://www.google.search
Guerrier. 2008. Truth versus validity in
mathematical proof. ZDM Mathematics
Education, 40 (1) p.373-384
Hasanah.
2017. Hermeneutik Ontologis-Dialektis Hans-Georg Gadamer. Jurnal At-Taqaddum, 9(1).
Jorgensen,
L.M..2009. The
Principle of Continuity and Leibniz’s Theory of Consciousness. Journal of the history of philosophy 47:2 hlm
223-248
Komar,
Oong. Tanpa tahun. Body of Knowledge
Pendidikan Dasar. PEDAGOGIA : Jurnal Ilmu Pendidikan http://ejournal.upi.edu/index.php/pedagogia/article/download/3330/2312
Marsigit.
2012. Sejarah dan Filsafat Matematika.
http://staffnew.uny.ac.id/upload/131268114/pengabdian/sejarah-dan-filsafat-matematikabahan-workshop-guru-smk-rsbi2012.pdf
Nasso,
Mauro Di. Tanpa Tahun. On the Foundations
of Nonstandard Mathematics
Peterson,
I.. 1998. The Limits of Mathematics.
The Mathematical Association of America. http://www.sciencenews.org/
Santosa.
2013. Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis
Formal. Jurnal Pengajaran MIPA, 18(2)
hlm. 152-160
Senk, S.
L., & Thompson, D. R. (Eds.). 2003. Standards
based school mathematics curricula: What are they? What do students learn?
Mahwah, NJ: Erlbaum.
Skemp,
R.R. 1987. Psychology of Learning
Mathematics. Expanded American Edition. Lawrence Erlbaum associates
Publishers. New Jersey.
Sopiany,
Hanifah Nurus & Rikayanti. 2018. Mensinergikan
Kemampuan Geometri dan Analisis pada Mata Kuliah Kalkulus Diferensial Melalui
Bahan Ajar Berbasis Geogebra. Kreano. 9(2) hal 164-173
Sumaryanto.
2012. Perspektif Filsafat Olahraga dalam Mewujudkan Masyarakat Sehat. Medikora (9)
Suyitno,
Hardi,&Asih, Tri Sri Noor.2018. Langkah-langkah
dalam Permodelan Matematika. Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa,
Kemenristekdikti RI
Theodore.
2016. Permodelan Matematika. https://himatika.fmipa.ugm.ac.id/2016/11/25/permodelan-matematika/
Umayah,
Kiftiyatul. 2014. About Filsafat Manusia.
https://www.kompasiana.com/kiftiyatulumayah/552859fe6ea834cb6a8b4578/about-filsafat-manusia
Wolff,
Janet, Hermeneutics and Sociology dalam H. Etzkowits & Ronald M. Glassman
(ed.), Ithaca: F.E. Peacock Publisher Inc., 1991.
Link
Komentar
Posting Komentar